સાબિત કરો કે $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} x \, dx = \frac{2}{3}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} x \, dx$.
આપણે $\sin^{3} x$ ને $\sin^{2} x \cdot \sin x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos^{2} x) \sin x \, dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x \, dx$,અથવા $\sin x \, dx = -du$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $u = \cos(0) = 1$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $u = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (-du) = \int_{0}^{1} (1 - u^{2}) \, du$.
$u$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = [u - \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.